JavaScript算法模式——动态规划和贪心算法

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  动态规划(Dynamic Programming,DP)是一种生活生活将比较复杂大问题分解成更小的子大问题来防止的优化算法。下面有你这人用动态规划来防止实际大问题的算法:

大慨硬币找零

  给定一组硬币的面额,以及要找零的钱数,计算出符合找零钱数的大慨硬币数量。之类,美国硬币面额有1、5、10、25你这人种生活生活面额,以需用找36美分的零钱,则得出的大慨硬币数应该是另五个25美分、另五个10美分和另五个1美分共另五个硬币。你这人算法要防止的你这人 诸只能 类的大问题。亲们 来看看怎么才能 才能 用动态规划的最好的土办法来防止。

  对于每一种生活生活面额,亲们 都分别计算所需用的硬币数量。具体算法如下:

  1. 以前删改用1美分的硬币,一共需用36个硬币
  2. 以前用5美分的硬币,则需用7个5美分的硬币 + 另五个1美分的硬币 = 8个硬币
  3. 以前用10美分的硬币,则需用五个10美分的硬币 + 另五个5美分的硬币 + 另五个1美分的硬币 = 五个硬币
  4. 以前用25美分的硬币,则需用另五个25美分的硬币 + 另五个10美分的硬币 + 另五个1美分的硬币 = 五个硬币

  对应的示意图如下:

  方案4的硬币总数大慨,你这人为最优方案。

  具体的代码实现如下:

function minCoinChange(coins, amount) {
    let result = null;
    if (!amount) return result;

    const makeChange = (index, value, min) => {
        let coin = coins[index];
        let newAmount = Math.floor(value / coin);
        if (newAmount) min[coin] = newAmount;
        if (value % coin !== 0) {
            makeChange(--index, value - coin * newAmount, min);
        }
    };

    const arr = [];
    for (let i = 0; i < coins.length; i++) {
        const cache = {};
        makeChange(i, amount, cache);
        arr.push(cache);
    }

    console.log(arr);
    let newMin = 0;
    arr.forEach(item => {
        let min = 0;
        for (let v in item) min += item[v];
        if (!newMin || min < newMin) {
            newMin = min;
            result = item;
        }
    });
    return result;
}

  函数minCoinChange()接收一组硬币的面额,以及要找零的钱数。亲们 将上边例子中的值传入:

const result = minCoinChange2([1, 5, 10, 25], 36);
console.log(result);

  得到如下结果:

[
  { '1': 36 },
  { '1': 1, '5': 7 },
  { '1': 1, '5': 1, '10': 3 },
  { '1': 1, '10': 1, '25': 1 }
]
{ '1': 1, '10': 1, '25': 1 }

  上边的数组是亲们 在代码中打印出来的arr的值,用来展示一种生活生活不同面额的硬币作为找零硬币时,实际所需用的硬币种类和数量。最终,亲们 会计算arr数组中硬币总数大慨的那个方案,作为minCoinChange()函数的输出。

  当然在实际应用中,亲们 可时会 能把硬币抽象成任何你需用的数字,你这人算法能给出你满足结果的最小组合。

背包大问题

  背包大问题是另五个组合优化大问题,它被描述为:给定另五个具有固定容量的背包capacity,以及一组具有价值(value)和重量(weight)的物品,找出另五个最优方案,使得放满背包的物品的总重量不超过capacity,且总价值最大。

  假设亲们 有以下物品,且背包的总容量为5:

物品# 重量 价值
1 2 3
2 3 4
3 4 5

  亲们 用矩阵来防止你这人大问题。首先,亲们 把物品和背包的容量组成如下矩阵:

物品(i)/重量(w) 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 (w=2, v=3) 0 0

a: 3+[0][2-2]=3+0

b: [0][2]=0

max(3+0,0)=3

a: 3+[0][3-2]=3+0

b: [0][3]=0

max(3+0,0)=3

a: 3+[0][4-3]=3+0

b: [0][4]=0

max(3+0,0)=3

a: 3+[0][5-3]=3+0

b: [0][5]=0

max(3+0,0)=3

2 (w=3, v=4) 0 0 3

a: 4+[1][3-3]=4+0

b: [1][3]=3

max(4+0,3)=4

a: 4+[1][4-3]=4+0

b: [1][4]=3

max(4+0,3)=4

a: 4+[1][5-3]=4+3

b: [1][5]=3

max(4+3,3)=7

3 (w=4, v=5) 0 0 3 4

a: 5+[2][4-4]=5+0

b: [2][4]=4

max(5+0,4)=5

a: 5+[2][5-4]=5+0

b: [2][5]=7

max(5+0,7)=7

  为了便于理解,亲们 将矩阵kS的第一列和第一行忽略(以前它们表示的是容量0和第0个物品)。你这人,按照要求往矩阵的格子里填数。以前当前的格子能放下对应的物品,位于以下一种生活生活状况:

  • a - 放满当前物品,你这人剩余的重量再放满前另五个物品
  • b - 不放满当前物品,放满前另五个物品

  在上边的表格中,

  1. 当背包的重量为1时,只能 物品能放满,你这人都是0,你这人很好理解。
  2. 当背包的重量为2时,物品1可时会 能放满,只能 位于一种生活生活状况:放满物品1(价值为3),剩余的重量(背包的重量2减去物品1的重量2,结果为0)再放满前另五个物品;不放满物品1,放满前另五个物品[0][2],价值为0。你这人最大价值你这人 max(3, 0)=3。
  3. ......
  4. 当背包的重量为5时,放满物品2,一种生活生活状况:放满物品2(价值为4),剩余的重量(背包的重量5减去物品2的重量3,结果为2)再放满前另五个物品,是[1][2],对应的价值是3;不放满物品2,,放满前另五个物品[1][5],价值为3。你这人最大价值你这人 max(4+3, 3)=7。
  5. ......

  以前当前物品只能放满背包,则忽略它,用前另五个值代替。亲们 可时会 能按照上边描述的过程把剩余的格子都填满,以前 表格中最后另五个单元格里的值你这人 最优方案。

  下面是具体的实现代码:

function knapSack(capacity, weights, values, n) {
    const kS = [];

    // 将ks初始化为另五个空的矩阵
    for (let i = 0; i <= n; i++) {
        kS[i] = [];
    }

    for (let i = 0; i <= n; i++) {
        for (let w = 0; w <= capacity; w++) {
            // 忽略矩阵的第1列和第1行
            if (i === 0 || w === 0) {
                kS[i][w] = 0;
            }
            else if (weights[i - 1] <= w) {
                const a = values[i - 1] + kS[i - 1][w - weights[i - 1]];
                const b = kS[i - 1][w];
                kS[i][w] = Math.max(a, b);
            }
            else {
                kS[i][w] = kS[i - 1][w];
            }
        }
    }

    console.log(kS);
}

  对于const a,其价值分为两累积,第一累积你这人 它自己的价值(values[i - 1]),第二累积是用背包剩余的重量(w - weights[i - 1])放满前另五个物品(kS[i - 1])。对于const b,你这人 找前另五个能放满你这人重量的物品(kS[i - 1][w])。你这人取你这人种生活生活状况下的最大值。

  测试一下knapSack()函数,

const capacity = 5;
const weights = [2, 3, 4];
const values = [3, 4, 5];
knapSack(capacity, weights, values, weights.length);

  下面是矩阵kS的输出结果:

[
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 3, 3, 3, 3 ],
  [ 0, 0, 3, 4, 4, 7 ],
  [ 0, 0, 3, 4, 5, 7 ]
]

 最长公共子序列(LCS)

  找出另五个字符串序列的最长子序列的长度。所谓最长子序列,是指另五个字符串序列中以相同顺序跳出,但何必 求连续的字符串序列。之类下面另五个字符串:

  字符串1:acbaed

  字符串2:abcadf

  则LCS为acad。

  和背包大问题的思路之类,亲们 用下面的表格来描述整个过程:

    a b c a d f
  0 0 0 0 0 0 0
a 0 1 1 1 1 1 1
c 0 1 1 2 2 2 2
b 0 1 2 2 2 2 2
a 0 1 2 2 3 3 3
e 0 1 2 2 3 3 3
d 0 1 2 2 3 4 4

  矩阵的第一行和第一列都被设置为0,剩余的累积,遵循下面一种生活生活状况:

  • 以前wordX[i - 1]和wordY[j - 1]相等,则矩阵对应的单元格的值为单元格[i - 1][j - 1]的值加1。
  • 以前wordX[i - 1]和wordY[j - 1]不相等,则找出单元格[i - 1][j]和单元格[i][j - 1]之间的最大值。

  下面是具体的实现代码:

function lcs(wordX, wordY) {
    const m = wordX.length;
    const n = wordY.length;
    const l = [];
    for (let i = 0; i <= m; i++) {
        l[i] = [];
        for (let j = 0; j <= n; j++) {
            l[i][j] = 0;
        }
    }
    for (let i = 0; i <= m; i++) {
        for (let j = 0; j <= n; j++) {
            if (i === 0 || j === 0) {
                l[i][j] = 0;
            } else if (wordX[i - 1] === wordY[j - 1]) {
                l[i][j] = l[i - 1][j - 1] + 1;
            } else {
                const a = l[i - 1][j];
                const b = l[i][j - 1];
                l[i][j] = Math.max(a, b);
            }
        }
    }
    console.log(l);
    console.log(l[m][n]);
}

  亲们 将矩阵打印出来,结果如下:

const wordX = ['a', 'c', 'b', 'a', 'e', 'd'];
const wordY = ['a', 'b', 'c', 'a', 'd', 'f'];
lcs(wordX, wordY);
[
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
  [ 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2 ],
  [ 0, 1, 2, 2, 2, 2, 2 ],
  [ 0, 1, 2, 2, 3, 3, 3 ],
  [ 0, 1, 2, 2, 3, 3, 3 ],
  [ 0, 1, 2, 2, 3, 4, 4 ]
]
4

   矩阵中最后另五个单元格的值为LCS的长度。那怎么才能 才能 计算出LCS的具体内容呢?亲们 可时会 能设计另五个相同的solution矩阵,用来做标记,以前wordX[i - 1]和wordY[j - 1]相等,则将solution矩阵中对应的值设置为'diagonal',即上边表格中背景为灰色的单元格。你这人,根据[i][j]和[i - 1][j]否是相等标记为'top'或'left'。你这人通过printSolution()最好的土办法来找出LCS的内容。修改以前的代码如下:

function printSolution(solution, wordX, m, n) {
    let a = m;
    let b = n;
    let x = solution[a][b];
    let answer = '';
    while (x !== '0') {
        if (solution[a][b] === 'diagonal') {
            answer = wordX[a - 1] + answer;
            a--;
            b--;
        } else if (solution[a][b] === 'left') {
            b--;
        } else if (solution[a][b] === 'top') {
            a--;
        }
        x = solution[a][b];
    }
    return answer;
}

function lcs(wordX, wordY) {
    const m = wordX.length;
    const n = wordY.length;
    const l = [];
    const solution = [];
    for (let i = 0; i <= m; i++) {
        l[i] = [];
        solution[i] = [];
        for (let j = 0; j <= n; j++) {
            l[i][j] = 0;
            solution[i][j] = '0';
        }
    }
    for (let i = 0; i <= m; i++) {
        for (let j = 0; j <= n; j++) {
            if (i === 0 || j === 0) {
                l[i][j] = 0;
            } else if (wordX[i - 1] === wordY[j - 1]) {
                l[i][j] = l[i - 1][j - 1] + 1;
                solution[i][j] = 'diagonal';
            } else {
                const a = l[i - 1][j];
                const b = l[i][j - 1];
                l[i][j] = Math.max(a, b);
                solution[i][j] = l[i][j] === l[i - 1][j] ? 'top' : 'left';
            }
        }
    }

    return printSolution(solution, wordX, m, n);
}

  测试结果:

const wordX = ['a', 'c', 'b', 'a', 'e', 'd'];
const wordY = ['a', 'b', 'c', 'a', 'd', 'f'];
console.log(lcs(wordX, wordY)); // acad

   贪心算法遵循一种生活生活近似防止大问题的技术,期盼通过每个阶段的局部最优选者,从而达到全局的最优。它不像动态规划算法那样计算更大的格局。

大慨硬币找零

  亲们 来看看怎么才能 才能 用贪心算法防止前面提到过的大慨硬币找零大问题。

function minCoinChange(coins, amount) {
    const change = [];
    let total = 0;
    for (let i = coins.length - 1; i >= 0; i--) {
        const coin = coins[i];
        while (total + coin <= amount) {
            change.push(coin);
            total += coin;
        }
    }
    return change;
}

const result = minCoinChange([1, 5, 10, 25], 36);
console.log(result); // [ 25, 10, 1 ]

  前提是coins数组以前按从小到大排好序了,贪心算法从最大值结束尝试,以前该值不满足条件(要找零的钱数),则继续向下找,直到找到满足条件的所有值。以上算法何必 能满足所有状况下找出最优方案,之类下面你这人状况:

const result = minCoinChange([1, 2, 5, 9, 10], 18);
console.log(result); // [ 10, 5, 2, 1 ]

  给出的结果[10, 5, 2, 1]并都是最优方案,最优方案应该是[9, 9]。

  与动态规划相比,贪心算法更简单、时延更高。你这人其结果何必 老要 最理想的。你这人综合看来,它相对执行时间来说,输出另五个可时会 能接受的结果。

背包大问题

物品# 重量 价值
1 2 3
2 3 4
3 4 5

  在动态规划的例子里,假定背包的容量为5,最佳方案是往背包里放满物品1和物品2,总价值为7。在贪心算法中,亲们 需用考虑分数的状况,假定背包的容量为6,放满物品1和物品2以前,剩余容量为1,可时会 能放满1/4的物品3,总价值为3+4+0.25×5=8.25。亲们 来看看具体的实现代码:

function knapSack(capacity, weights, values) {
    const n = values.length;
    let load = 0;
    let val = 0;
    for (let i = 0; i < n && load < capacity; i++) {
        if (weights[i] <= capacity - load) {
            val += values[i];
            load += weights[i];
            console.log(`物品${i + 1},重量:${weights[i]},价值:${values[i]}`);
        } else {
            const r = (capacity - load) / weights[i];
            val += r * values[i];
            load += weights[i];
            console.log(`物品${i + 1}的${r},重量:${r * weights[i]},价值:${val}`);
        }
    }

    return val;
}

  从第另五个物品结束遍历,以前总重量小于背包的容量,则继续迭代,放满物品。以前物品可时会 能删改地放满背包,则将其价值和重量分别计入到变量val和load中,一起打印放满物品的信息。以前物品只能删改地放满背包,计算时会 放满的比例r,你这人将你这人比例所对应的价值和重量分别计入到变量val和load中,一起打印物品的信息。最终输出总的价值val。下面是测试结果:

const capacity = 6;
const weights = [2, 3, 4];
const values = [3, 4, 5];
console.log(knapSack(capacity, weights, values));
物品1,重量:2,价值:3
物品2,重量:3,价值:4
物品3的0.25,重量:1,价值:8.25
8.25

  在动态规划算法中,以前将背包的容量也设定为6,计算结果则为8。

最长公共子序列(LCS)

  最后亲们 再来看看怎么才能 才能 用贪心算法防止LCS的大问题。下面的代码返回了另五个给定数组中的LCS的长度:

function lcs(wordX, wordY, m = wordX.length, n = wordY.length) {
    if (m === 0 || n === 0) {
        return 0;
    }
    if (wordX[m - 1] === wordY[n - 1]) {
        return 1 + lcs(wordX, wordY, m - 1, n - 1);
    }
    const a = lcs(wordX, wordY, m, n - 1);
    const b = lcs(wordX, wordY, m - 1, n);
    return a > b ? a : b;
}

const wordX = ['a', 'c', 'b', 'a', 'e', 'd'];
const wordY = ['a', 'b', 'c', 'a', 'd', 'f'];
console.log(lcs(wordX, wordY)); // 4