纸上谈兵: 树, 二叉树, 二叉搜索树

作者：Vamei 出处：http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载，也请保留这段声明。谢谢！

树的行态和定义

树(Tree)是元素的集合。大伙先以比较直观的最好的最好的办法介绍树。下面的数据行态是四个 多多多树：

树有多个节点(node)，用以储存元素。之类 节点之间处于一定的关系，用连线表示，连线称为边(edge)。边的上端节点称为父节点，下端称为子节点。树像是四个 多多多不断分叉的树根。

每个节点能是有无多个子节点(children)，而该节点是相应子节点的父节点(parent)。比如说，3,5是6的子节点，6是3,5的父节点；1,8,7是3的子节点, 3是1,8,7的父节点。树四个 多多多多这麼父节点的节点，称为根节点(root)，如图中的6。这麼子节点的节点称为叶节点(leaf)，比如图中的1,8,9,5节点。从图中还还可以看得人，上端的树总共四个 多多多多层次，6处于第一层，9处于第四层。树中节点的最大层次被称为深度1。也以后说，该树的深度1(depth)为4。

机会大伙从节点3开始了了向下看，而忽略其它要素。这麼大伙看得人的是四个 多多多以节点3为根节点的树：

三角形代表一棵树

再进一步，机会大伙定义孤立的四个 多多多节点也是一棵树语录，原来的树就还可以表示为根节点和子树(subtree)的关系:

上述观察实际上给了大伙某种生活严格的定义树的最好的最好的办法：

1. 树是元素的集合。

2. 该集合还可以为空。这时树中这麼元素，大伙称树为空树 (empty tree)。

3. 机会该集合不为空，这麼该集合四个 多多多多根节点，以及0个机会多个子树。根节点与它的子树的根节点用四个 多多多边(edge)相连。

上端的第三点是以递归的最好的最好的办法来定义树，也以后在定义树的过程中使用了树自身(子树)。机会树的递归行态，之类 树相关的操作也还可以方便的使用递归实现。大伙将在上端看得人。

(上述定义来自"Data Structures and Algorithm Analysis in C, by Mark Allen Weiss"。 我嘴笨 有之类 不太严格的地方。机会说空树属于树，第三点应该是 “...以及0个和多个非空子树...” )

树的实现

树的示意图机会给出了树的某种生活内存实现最好的最好的办法: 每个节点储存元素和多个指向子节点的指针。然而，子节点数目是不选泽的。四个 多多多父节点机会有极少量的子节点，而原来父节点机会只四个 多多多多子节点，而树的增删节点操作会让子节点的数目处于进一步的变化。之类 不选泽性就机会带来极少量的内存相关操作，以后容易造成内存的浪费。

某种生活经典的实现最好的最好的办法如下:

树的内存实现

拥有同一父节点的四个 多多多节点互为兄弟节点(sibling)。上图的实现最好的最好的办法中，每个节点中含四个 多多多多指针指向第四个 多多多子节点，并有原来指针指向它的下四个 多多多兄弟节点。原来，大伙就还可以用统一的、选泽的行态来表示每个节点。

计算机的文件系统是树的行态，比如Linux文件管理背景知识中所介绍的。在UNIX的文件系统中，每个文件(文件夹同样是某种生活文件)，都还可以看做是四个 多多多节点。非文件夹的文件被储处于叶节点。文件夹中含指向父节点和子节点的指针(在UNIX中，文件夹还中含四个 多多多指向自身的指针，这与大伙上端见到的树有所区别)。在git中，总要之类的树状行态，用以表达整个文件系统的版本变化 (参考版本管理三国志)。

文件树

二叉搜索树的C实现

二叉树(binary)是某种生活特殊的树。二叉树的每个节点最多还可以了四个 多多多多子节点：

二叉树

机会二叉树的子节点数目选泽，也还可以了否直接采用上图最好的最好的办法在内存中实现。每个节点四个 多多多多左子节点(left children)和右子节点(right children)。左子节点是左子树的根节点，右子节点是右子树的根节点。

机会大伙给二叉树加四个 多多多额外的条件，就还可以得到某种生活被称作二叉搜索树(binary search tree)的特殊二叉树。二叉搜索树要求：每个节点总要比它左子树的任意元素小，以后不比它的右子树的任意元素大。

(机会大伙假设树中这麼重复的元素，这麼上述要求还可以写成：每个节点比它左子树的任意节点大，以后比它右子树的任意节点小)

二叉搜索树，注意树中元素的大小

二叉搜索树还可以方便的实现搜索算法。在搜索元素x的原来，大伙还可以将x和根节点比较:

1. 机会x等于根节点，这麼找到x，停止搜索 (终止条件)

2. 机会x小于根节点，这麼搜索左子树

3. 机会x大于根节点，这麼搜索右子树

二叉搜索树所前要进行的操作次数最多与树的深度1相等。n个节点的二叉搜索树的深度1最多为n，最少为log(n)。

下面是用C语言实现的二叉搜索树，并有搜索，插入，删除，寻找最大最小节点的操作。每个节点中存四个 多多多多指针，四个 多多多指向父节点，四个 多多多指向左子节点，四个 多多多指向右子节点。

(原来的实现是为了方便。节点还可以只保存有指向左右子节点的四个 多多多指针，并实现上述操作。)

删除节点相对比较比较复杂。删除节点后，有时前要进行一定的调整，以恢复二叉搜索树的性质(每个节点总要比它左子树的任意元素小，以后不比它的右子树的任意元素大)。

• 叶节点还可以直接删除。
• 删除非叶节点时，比如下图中的节点8，大伙还可以删除左子树中最大的元素(机会右树中最大的元素)，用删除的节点来补充元素8产生的空缺。但该元素机会也总要叶节点，以后它所产生的空缺前要之类 元素补充…… 直到最后删除四个 多多多叶节点。上述过程还可以递归实现。

删除节点

删除节点后的二叉搜索树

/* By Vamei */
/* binary search tree */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

typedef struct node *position;
typedef int ElementTP;

struct node {
    position parent;
    ElementTP element;
    position lchild;
    position rchild;
};

/* pointer => root node of the tree */
typedef struct node *TREE;

void print_sorted_tree(TREE);
position find_min(TREE);
position find_max(TREE);
position find_value(TREE, ElementTP);
position insert_value(TREE, ElementTP);
ElementTP delete_node(position);

static int is_root(position);
static int is_leaf(position);
static ElementTP delete_leaf(position);
static void insert_node_to_nonempty_tree(TREE, position);

void main(void) 
{
    TREE tr;
    position np;
    ElementTP element;
    tr = NULL;
    tr = insert_value(tr, 18);
    tr = insert_value(tr, 5);
    tr = insert_value(tr, 2); 
    tr = insert_value(tr, 8);
    tr = insert_value(tr, 81);
    tr = insert_value(tr, 101);
    printf("Original:\n");
    print_sorted_tree(tr);

    np = find_value(tr, 8);
    if(np != NULL) {
        delete_node(np);
        printf("After deletion:\n");
        print_sorted_tree(tr);
    }
}


/* 
 * print values of the tree in sorted order
 */
void print_sorted_tree(TREE tr)
{
    if (tr == NULL) return;
    print_sorted_tree(tr->lchild);
    printf("%d \n", tr->element);
    print_sorted_tree(tr->rchild);
}

/*
 * search for minimum value
 * traverse lchild
 */
position find_min(TREE tr)
{
    position np;
    np = tr;
    if (np == NULL) return NULL;
    while(np->lchild != NULL) {
        np = np->lchild;
    }
    return np;
}

/*
 * search for maximum value
 * traverse rchild
 */
position find_max(TREE tr)
{
    position np;
    np = tr;
    if (np == NULL) return NULL;
    while(np->rchild != NULL) {
        np = np->rchild;
    }
    return np;
}

/*
 * search for value
 *
 */
position find_value(TREE tr, ElementTP value) 
{
    if (tr == NULL) return NULL; 

    if (tr->element == value) {
        return tr;
    }
    else if (value < tr->element) {
        return find_value(tr->lchild, value);
    }
    else {
        return find_value(tr->rchild, value);
    }
}

/* 
 * delete node np 
 */
ElementTP delete_node(position np) 
{
    position replace;
    ElementTP element;
    if (is_leaf(np)) {
        return delete_leaf(np);
    }   
    else {
        /* if a node is not a leaf, then we need to find a replacement */
        replace = (np->lchild != NULL) ? find_max(np->lchild) : find_min(np->rchild);
        element = np->element;
        np->element = delete_node(replace);
        return element;
    }
}

/* 
 * insert a value into the tree
 * return root address of the tree
 */
position insert_value(TREE tr, ElementTP value) {
    position np;
    /* prepare the node */
    np = (position) malloc(sizeof(struct node));
    np->element = value;
    np->parent  = NULL;
    np->lchild  = NULL;
    np->rchild  = NULL;
 
    if (tr == NULL) tr = np;
    else {
        insert_node_to_nonempty_tree(tr, np);
    }
    return tr;
}


//=============================================

/*
 * np is root?
 */
static int is_root(position np)
{
    return (np->parent == NULL);
}

/*
 * np is leaf?
 */
static int is_leaf(position np)
{
    return (np->lchild == NULL && np->rchild == NULL);
}

/* 
 * if an element is a leaf, 
 * then it could be removed with no side effect.
 */
static ElementTP delete_leaf(position np)
{
    ElementTP element;
    position parent;
    element = np->element;
    parent  = np->parent;
    if(!is_root(np)) {
        if (parent->lchild == np) {
            parent->lchild = NULL;
        }
        else {
            parent->rchild = NULL;
        }
    }
    free(np);
    return element;
}

/*
 * insert a node to a non-empty tree
 * called by insert_value()
 */
static void insert_node_to_nonempty_tree(TREE tr, position np)
{
    /* insert the node */
    if(np->element <= tr->element) {
        if (tr->lchild == NULL) {
            /* then tr->lchild is the proper place */
            tr->lchild = np;
            np->parent = tr;
            return;
        }
        else {
            insert_node_to_nonempty_tree(tr->lchild, np);
        }
    }
    else if(np->element > tr->element) {
        if (tr->rchild == NULL) {
            tr->rchild = np;
            np->parent = tr;
            return;
        }
        else {
            insert_node_to_nonempty_tree(tr->rchild, np);
        }
    }
}

运行结果:

Original:

2

5

8

18

81

101

After deletion:

2

5

18

81

101

上述实现中的删除比较比较复杂。某种生活生活简单的替代操作，称为懒惰删除(lazy deletion)。在懒惰删除时，大伙不要再真正从二叉搜索树中删除该节点，以后将该节点标记为“已删除”。原来，大伙只用找到元素并标记，就还可以完成删除元素了。机会有相同的元素重新插入，大伙还可以将该节点找到，并撤回删除标记。

懒惰删除的实现比较简单，还可以尝试一下。树所处于的内存空间不要再机会删除节点而减小。懒惰节点实际上是用内存空间换取操作的简便性。

总结

树, 二叉树, 二叉搜索树

二叉搜索树的删除

懒惰删除

欢迎继续阅读“纸上谈兵: 算法与数据行态”系列。